(一)我們設計一個八度內分成十二個半音(切成12個的數學原理可看參考資料2):

「純律」(just intonation)

畢達哥拉斯 (Pythagoras) 設計的純律有兩條規則:

  1. 頻率乘以 2 =升高八度
  2. 頻率乘以 3/2 =完全五度(間隔7個半音)

所以我們可從 A: 440 Hz 乘以 3/2 得到高八度的 E,再除以 2 降低八度來回到原八度的 E: 330 Hz;以相同原理推演,即依照五度圈順序可推演出十二個音頻。

「十二平均律」(12 equal temperament)

假若我們基於中音C的頻率(264 Hz)乘以二為高音C(528 Hz)的原則,設計一個有十二個數的等比數列:264 \times r^{12}=528 得出十二個音高,且此模型中的七個音相當接近純律的頻率。

我們可設計另一模型設計為,中音C等比例增加七次到達高音C:264 \times (1+x)^{7}=528
得出七個音高,但這個模型模擬純律的效果則明顯遜於十二平均律,將三種模型繪製成下圖:

純律與十二平均律

純律與十二平均律(可點圖放大)

(二)我們以 A: 440Hz 為所有音律設計的調音基準
以此比較 A: 440Hz 同一個八度內的頻率差距,如下圖(可點圖放大):

(此計算列在 這個試算表 [Google Docs])

實際的均率設計更複雜!

參考資料:

  1. Clifford Swartz, Back-of-the-Envelope Physics, P.50 Scales and Chords
  2. 游森棚,從鋼琴調音談數學與音樂 [PDF]
  3. 單維彰,平均律與對數律 [PDF]
  4. 圖形繪製:OpenOffice.org 3.0.0 Calc, Google 文件: 試算表

2011/2/23 updated